题目内容
已知f(x)=
，g（x）=x+a （a＞0）
（1）当a=4时，求|
|的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式|
|＞1恒成立，求a的取值范围．
| x |
（1）当a=4时，求|
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
（2）当1≤x≤4时，不等式|
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
分析：（1）当a=4时，先研究函数F(x)=
的值域，再求|
|的最小值；
（2）首先可化简为|
|=|
|=|1-(a
+
) |（1≤x≤4），设t=
，则问题等价于|1-(at+
) |＞1，t∈[1，2]时恒成立，即at+
＜0或at+
＞2，t∈[1，2]时恒成立，再考查对勾函数的单调性，从而建立不等式，求解即可．
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
（2）首先可化简为|
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
| ||
|
| x |
| a2 | ||
|
| x |
| a2 |
| t |
| a2 |
| t |
| a2 |
| t |
解答：解：（1）当a=4时，|
|=|
|=|1-(4
+
) |
∵
＞0，∴4
+
≥ 16，当
=
，即x=4时，取“=”号
故|
|的最小值为15；
（2）|
|=|
|=|1-(a
+
) |（1≤x≤4）
设t=
，则问题等价于|1-(at+
) |＞1，t∈[1，2]时恒成立，
即at+
＜0或at+
＞2，t∈[1，2]时恒成立，
令 h(t)=a(t+
)，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
由函数 y=x+
的单调性知
或
或
，
或
或
或a＜0
解得a＞1或a＜0
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
| ||
|
| x |
| 16 | ||
|
∵
| x |
| x |
| 16 | ||
|
| x |
| 4 | ||
|
故|
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
（2）|
| f(x)-ag(x) |
| f(x) |
| ||
|
| x |
| a2 | ||
|
设t=
| x |
| a2 |
| t |
即at+
| a2 |
| t |
| a2 |
| t |
令 h(t)=a(t+
| a |
| t |
由函数 y=x+
| a |
| x |
|
|
|
|
|
|
解得a＞1或a＜0
点评：本题的考点是函数恒成立问题，考查学生基本不等式在最值问题中的应用、利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．
练习册系列答案
口算心算速算应用题系列答案
同步拓展阅读系列答案
相关题目
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间
上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（ ）
x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（ ）
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间
上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．