Question

（理科）设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；
（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定A，F₁的坐标，利用建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用向量的数量积运算，将求的最大值转化为求的最大值，利用配方法可求．
解答：解：（1）由题设知，，F₁（）
∵，∴
∴a²=6
∴椭圆M的方程为；
（2）∵圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为点N
∴===
从而将求的最大值转化为求的最大值
P是椭圆M上的任一点，设P（x，y），则有，即x²=6-3y²，
又N（0，2），∴=x²+（y-2）²=-2（y+1）²+12
∵，∴当y=-1时，取最大值12
∴的最大值为11．
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题