Question

如图，在椭圆C中，点F₁是左焦点，A（a，0），B（0，b）分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的射影．
（1）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（2）如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆离心率的取值范围；
（3）如果以OP为直径的圆与直线AB相切，且凸四边形ABPH的面积等于3+

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lop：y=-

b

a

x，代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，由此能够证明当a取定值时，点H必为定点．
（2）由点H落在左顶点与左焦点之间，知只有H(-

2

2

a，0)，且-a＜-

2

2

a＜-c，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于

1

2

|OP|．由条件设直线AB：

x

a

+

y

b

=1，点O到直线AB的距离d=

ab

a2+b2

，又|OP|=

2a2+2b2

2

，所以

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

，再由SABPH=SABO+SOBPH=

1

2

ab+

1

2

(

2

2

b+b)

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

，
能够得到所求椭圆方程．

解答：解：（1）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lop：y=-

b

a

x，
代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，
∴P(-

2

2

a，

2

2

b)或P(

2

2

a，-

2

2

b)，
∵PH⊥x轴，∴H(-

2

2

a，0)或H(

2

2

a，0)，
∵a为定值，∴H为定点；（4分）
（2）∵点H落在左顶点与左焦点之间，
∴只有H(-

2

2

a，0)，且-a＜-

2

2

a＜-c，
可解得0＜e＜

2

2

；（4分）
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于

1

2

|OP|．
由条件设直线AB：

x

a

+

y

b

=1，
则点O到直线AB的距离d=

ab

a2+b2

，又|OP|=

2a2+2b2

2

，
∴

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

得a2+b2=2

2

ab①
又由SABPH=SABO+SOBPH=

1

2

ab+

1

2

(

2

2

b+b)

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

，
得ab=4．②由①②解得a2=4(

2

+1)，b2=4(

2

-1)，
所以所求椭圆方程为：

x2

4( 2 +1)

+

y2

4( 2 -1)

=1．（6分）

点评：本题考查定点的证明、离心率取值范围的确定和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．