Question

（2013•济宁二模）已知函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数，y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数，y=g（x）的图象，求函数g（x）在（0，

π

4

）上的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象利用伸缩变换以及平移变换，求出g（x）的表达式，通过x的范围，求出相位的范围，得到函数值的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=2sin（2x+

π

3

）．
所以函数的最小正周期为：π．
（Ⅱ）将函数，y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数，y=g（x）的图象，
所以g（x）=2sin（4x+

π

3

）．
∵x∈（0，

π

4

），∴4x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴g（x）∈（-

3

，2]．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、值域，化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式是解题的关键．