Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

(Ⅰ)求二面角O₁-BC-D的大小；

(Ⅱ)求点E到平面O₁BC的距离．

Answer 1

解法一:(Ⅰ)过AC、BD的交点O作OF⊥BC于F，连接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角，

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．

在Rt△O₁OF中，tan∠O₁FO=，

∴∠O₁FO=60°即二面角O₁—BC—D为60° 

(Ⅱ)在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，

∴OE∥O₁C，∴OE∥面O₁BC，

∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F．

过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距离，

∴OH=.∴点E到面O₁BC的距离等于．

解法二：(Ⅰ)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-2，0，0)，O₁(0，0，3)

设平面O₁BC的法向量为n₁=(x,y,z),

则n₁⊥，n₁⊥，

∴，则z=2，则x=,y=3，

∴n₁=(，3，2)，而平面AC的法向量n₂=(0，0，3)  

∴cos＜n₁，n₂＞=，

设O₁-BC-D的平面角为α，∴cosα=；∴α=60°．

故二面角O₁-BC-D为60°．

(Ⅱ)设点E到平面O₁BC的距离为d，

∵E是O₁A的中点，∴=(，0，)，

则d=

∴点E到面O₁BC的距离等于