Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝，AB＝1，E是DD₁的中点．

(Ⅰ)求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；

(Ⅱ)求证：B₁D⊥AE；

(Ⅲ)求二面角C-AE-D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)解： 　　连结A1D． 　　∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， 　　∴A1B1⊥平面A1ADD1， 　　∴A1D是B1D在平A1ADD1上的射影， 　　∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角．　　2分 　　在RtΔB1A1D中，　　tanA1DB1＝ 　　∴∠A1DB1＝30°， 　　即直线B1D和平面A1ADD1，所成角的大小是30°　　4分 　　(Ⅱ)证明： 　　在Rt△A1AD和Rt△ADE中， 　　∵， 　　∴A1AD－△ADE， 　　∴∠A1DA＝∠AED． 　　∴∠A1DA＋∠EAD＝∠AED＋∠EAD＝90°， 　　∴A1D⊥AE．　　7分 　　由(Ⅰ)知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影， 　　根据三垂线定理得，B1D⊥AE．　　9分 　　(Ⅲ)解： 　　设A1D∩AE＝F，连结CF． 　　∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF， 　　根据三垂线定理得，AE⊥CF， 　　∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．　　11分 　　在Rt△ADE中，由AD·DE＝AE·DF． 　　在Rt△FDC中，tanDFC＝ 　　∴∠DFC＝60°， 　　即二面角C-AE-D的大小是60°　　14分 　　解法二： 　　∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， 　　∴DA、DC、DD1两两互相垂直． 　　如图，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．　　1分 　　则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，)． 　　(Ⅰ)解： 　　连结A1D，∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， 　　∴A1B1⊥平面A1ADD1， 　　∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影， 　　∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角．　　4分 　　∵A1，　　∴ 　　∴cos 　　∴∠A1DB1＝30°， 　　即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°，　　6分 　　(Ⅱ)证明： 　　∵E是DD1的中点　　∴E，　　∴ 　　∵＝－1＋0＋1＝0， 　　∴B1D⊥AE．　　9分 　　(Ⅲ)解： 　　设A1D∩AE＝F，连结CF． 　　∵CD⊥平面A1ADD1，　　且AE⊥DF； 　　根据三垂线定理得，AE⊥CF， 　　∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角．　　11分 　　根据平面几何知识，可求得F 　　∴ 　　∴cos， 　　∴二面角C-AE-D的大小是60°　　14分