Question

甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析：（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为

200

v

小时，由此能求出全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系和函数的定义域．
（2）令f（v）=

10000

v

+4v，设0＜v1＜v2 ≤50，则f（v₁）-f（v₂）=

10000

v1

+4v1-(

10000

v2

+4v2)，由此能求出为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶．

解答：解：（1）∵甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时，
汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
∴汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为

200

v

小时，（1分）
全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：
y=（50+0.02v²）•

200

v

=

10000

v

+4v，v∈（0，50]．（5分）
（2）令f（v）=

10000

v

+4v，
设0＜v1＜v2 ≤50，（6分）
f（v₁）-f（v₂）=

10000

v1

+4v1-(

10000

v2

+4v2)，（8分）
由v₁＜v₂，得v₁-v₂＜0，又v₁＜v₂≤50，得v₁v₂＜2500，且v₁v₂＞0，
∴f（v₁）＜f（v₂）＜0，（10分）
则f（v）在（0，50]上单调递减，（11分）
∴f（v）_min=f（50）．
答：为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶．（12分）

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．