Question

已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）若f(

θ

2

)=

1

3

2

，求cos(

π

4

-θ)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可利用三角恒等变换，将函数化为y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式，然后可得其最大值为|A|．
（Ⅱ）由f(

θ

2

)=

1

3

2

 求得sin（θ+

π

4

）=

1

3

，再根据 cos(

π

4

-θ)=sin（θ+

π

4

）求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
故函数的最大值为

2

，此时，由 2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，
求得 x=kπ+

π

8

，k∈z．
（Ⅱ）由f(

θ

2

)=

1

3

2

=

2

sin（θ+

π

4

），可得sin（θ+

π

4

）=

1

3

，
∴cos(

π

4

-θ)=sin[

π

2

-（

π

4

-θ）]=sin（θ+

π

4

）=

1

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、以及诱导公式的应用，属于中档题．