Question

已知函数f（x）=

1

3

mx³-（2+

m

2

）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）当m≥4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

mx3-(2+

m

2

)x2+4x+1，∴f′（x）=mx²-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，则0＜

4

m

＜1，此时x∈(-∞，

4

m

)∪(1，+∞)都有f/(x)＞0，x∈(

4

m

，1)，
有f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为(-∞，

4

m

]和[[1，+∞）；
2）若m=4，则f′（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）当m＜0时，f/(x)=mx2-(4+m)x+4=m(x-

4

m

)(x-1)且

4

m

＜1
∴当2≤x≤3时，都有f′（x）＜0
∴此时f（x）在[2，3]上单调递减，∴f(x)max=f(2)=

2

3

m+1
又g（x）=mx+5在[2，3]上单调递减，∴g（x）_min=g（3）=3m+5
∴

2

3

m+1-3m-5≤1，解得m≥-

15

7

，又m＜0，
所以-

15

7

≤m＜0