Question

市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．

(Ⅰ)求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；

(Ⅱ)请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；

(Ⅲ)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)，由余弦定理得： 　　 　　∴ 　　∵∴， 　　∴　4分 　　(Ⅱ)S四边形ABCD＝(万平方米) 　　由正弦定理得：(万米) 　　(万米)　8分 　　S四边形APCD＝，又 　　设AP＝x，CP＝y，则 　　由余弦定理得： 　　∴，当且仅当x＝y时取“＝” 　　∴S四边形APCD＝(万平方米) 　　∴作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为万平方米．　14分 　　另解：在中，，设且 　　利用正弦定理求后得： 　　 　　， 　　当时，面积取最大值．