Question

长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．
（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．

解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
AC²=4²+6²-2×4×6×cos∠ABC
=4²+2²-2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=

1

2

，∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S_{四边形ABCD}=

1

2

×4×6×sin60°+

1

2

×2×4×sin120°
=8

3

（万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=16+36-2×4×6×

1

2

．
AC=2

7

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∴2R=

AC

sin∠ABC

=

2 7

3 2

=

4 21

3

，
∴R=

2 21

3

（万米）．
（2）∵S_{四边形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S_△ADC=

1

2

AD•CD•sin120°=2

3

，
设AP=x，CP=y．
则S_△APC=

1

2

xy•sin60°=

3

4

xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²-2xycos60°
=x²+y²-xy=28．
∴x²+y²-xy≥2xy-xy=xy．
∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号
∴S_{四边形APCD}=2

3

+

3

4

xy≤2

3

+

3

4

×28=9

3

，
∴最大面积为9

3

万平方米．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．