Question

13．圆锥曲线$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{{{{（a+1）}^2}+3}}$=1的离心率的取值范围是1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．

Answer 1

分析 分类讨论，利用离心率公式，结合基本不等式，即可得出离心率的取值范围．

解答 解：a＜0，则e²=$\frac{（a+1）^{2}+3-a}{（a+1）^{2}+3}$=1+$\frac{1}{-a-\frac{4}{a}-2}$≤$\frac{3}{2}$，∴1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
a＞0，则e²=$\frac{（a+1）^{2}+3-a}{（a+1）^{2}+3}$=1-$\frac{1}{a+\frac{4}{a}+2}$≥$\frac{5}{6}$，∴$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．
故答案为：1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{30}}{6}$≤e＜1．

点评 本题考查离心率的取值范围，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，属于中档题．