题目内容

设函数f（x）=xsinx（x∈R）则f（log $数学公式$ 16），f（ $数学公式$ ），f（ $数学公式$ ）的大小关系为________（用“＜”连接）

f（ $\text{[math]}$ ）＜f（log $\text{[math]}$ 16） $\text{[math]}$
分析：利用f′（x）=sinx+xcosx，利用f′（ $\text{[math]}$ ）＜0，可分析出f（x）在（π， $\text{[math]}$ ]上单调递减，从而使问题解决．
解答：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴f（x）=xsinx为偶函数．
又log $\text{[math]}$ 16= $\text{[math]}$ =-4，
∴f（log $\text{[math]}$ 16）=f（-4）=f（4）；
∵f′（x）=sinx+xcosx，
∴当∈（π， $\text{[math]}$ ）时，sinx＜0，cosx＜0，
∴f′（x）=sinx+xcosx＜0，
∴f（x）在（π， $\text{[math]}$ ]上单调递减，
又f′（ $\text{[math]}$ ）=sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ＜0，
∴当 $\text{[math]}$ ＜x≤ $\text{[math]}$ ，f′（x）＜0，
综上所述，当π＜x≤ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（π， $\text{[math]}$ ]上单调递减．
∵π＜ $\text{[math]}$ ＜4＜ $\text{[math]}$ ，
∴f（ $\text{[math]}$ ）＞f（4）＞f（ $\text{[math]}$ ）；
故答案为：f（ $\text{[math]}$ ）＜f（log $\text{[math]}$ 16）＜f（ $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查不等式比较大小，考查导数的应用，利用导数分析得到f（x）在（π， $\text{[math]}$ ]上单调递减是关键，也是难点，属于难题．