Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^2-x在x=1处取得极值，且在点（2，f（2））处的切线方程为6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出f（x）在x=1处的极值是极大值还是极小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，且在点（2，f（2））处的切线方程为6x+y-27=0，建立方程组，即可求得a，b，c的值；
（2）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调性，从而可得函数的极值．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax+b）e^2-x+（ax²+bx+c）e^2-x（-1）=[-ax²+（2a-b）x+（b-c）]e^2-x，…（4分）
由题意，

f′(1)=0 f′(2)=-6 f(2)=15

，即

[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0 [-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6 (4a+2b+c)e0=15

，
∴a=c=1，b=5；  …（8分）
（2）由（1）知，f（x）=（x²+5x+1）e^2-x，∴f′（x）=（-x²-3x+4）e^2-x=-（x+4）（x-1）e^2-x，…（10分）
令f′（x）＞0，得-4＜x＜1，f′（x）＜0，得x＜-4或x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-4，1），单调递减区间为（-∞，-4）和（1，+∞）．…（13分）
由此可知，f（x）在x=1处的取值是极大值．       …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，切线的斜率，考查函数的单调性，正确求导是关键．