Question

19、已知数列{a_n}的n前项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）求数列{a_n}的通项，可根据题设中的S_n=2a_n-2ⁿ这个递推式进行变形，研究{a_n+2^n-1}的性质，求其通项，再求出数列{a_n}的通项；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列，可先假设存在，由等比数列性质建立方程求参数的值，若能求出则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）由题意a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1）?a_n=2a_n-1+2^n-1
∴a_n+2^n-1=2（a_n-1+2^n-1），故{a_n+2^n-1}是以a₁+1为首项，以2为公比的等比数列
又a₁=S₁=2a₁-2¹．故a₁=2，故{a_n+2^n-1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以a_n+2^n-1=3×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ，
（2）若存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列，则有（a₁-（1+m）2⁰）×（a₃-（3+m）2²）=（a₂-（2+m）2¹）²
即4×（m²-1）=4×m²，此式不成立，
故不存在实数m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列．

点评：本题考点是等比关系的确定，考查了由递推式变形求数列的通项以及利用等比数列的性质确定合得数列成立的参数是否存在的问题，本题较抽象，是一个能力型的题．