Question

如图，正方形OABC的边长为2．

（1）在其四边或内部取点P（x，y），且x，y∈Z，求事件“|OP|＞1”的概率；

（2）在其内部取点P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率是．

Answer 1

考点：

几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

专题：

概率与统计．

分析：

（1）分析出正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z的全部基本事件个数，及满足“|OP|＞1”的基本事件个数，代入古典概型公式可得事件“|OP|＞1”的概率；

（2）求出满足条件的所有基本事件对应的平面区域Ω的面积，及满足条件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于的平面区域面积，代入几何概型公式，可得事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率

解答：

解：（1）在正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z，所有可能的事件是

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），

（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），

其中满足|OP|＞1的事件是

（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），

所以满足|OP|＞1的概率为．（6分）

（2）在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，

由于各边长为2，

所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于，

应该三角形的高大于，

所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，

其面积为×=，

所以满足条件的概率为．（12分）

点评：

本题考查的知识点是几何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件个数（对应区域面积）和满足条件的基本事件个数（对应区域面积）是解答的关键．