Question

(09 年石景山区统一测试文)（14分）

如图，已知正三棱柱―的底面边长是，侧棱的长是，点是

侧棱的中点．

   （Ⅰ）求直线与侧面所成的角；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

解析：解法一：

   （Ⅰ）取中点，连结．

∵ 是正三角形，

    ∴ ．

    又底面侧面，

    且两平面交线为，

       ∴ 侧面．

       连结，则为直线与侧面所成的角．     ………………2分

       在正三角形中，∵ ，∴ ．

       在直角三角形中，∵ ，，∴ ．

       在中，∵ ，∴ ．           ………………3分

       ∴ 直线与侧面所成的角为．                ………………4分

   （Ⅱ）过作于，连结．

       ∵ 侧面，∴ 是在平面内的射影．

          由三垂线定理，可知．

      ∴ 为二面角的平面角．                   ………………6分

       在中，，又，

       ，                           ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小为．                     ………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交线为，

       过作于，则平面．

    ∴ 的长为点到平面的距离．                    ………………10分

       在中，． ………………12分

       ∵ 为中点，∴ 点到平面的距离为．　　………1４分

       解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系．

则．

       设为平面的法向量．

       由 ，

       得．

       取．                                     ………………6分

       又平面的一个法向量，                     ………………7分

       ∴ ． 　………8分

       结合图形可知，二面角的大小为．      　　 ………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ），，．              ………10分

       ∴ 点到平面的距离

     ．

       ∴ 点到平面的距离为．                       ………………14分