Question

已知y=log₄(2x+3-x²),

（1）求定义域；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.

Answer 1

解：（1）由真数2x+3-x²＞0,解得-1＜x＜3,

    ∴定义域是{x|-1＜x＜3}.

    （2）令μ=2x+3-x²,则μ＞0,y=log₄μ,

    由于μ=2x+3-x²=-(x-1)²+4.

    考虑到定义域，其增区间是（-1，1]，减区间是［1，3）.

    又y=log₄μ在μ∈(0,+∞)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1]，减区间是［1，3）.

    （3）∵μ=2x+3-x²=-(x-1)²+4≤4,

    ∴y=log₄(2x+3-x²)≤log₄4=1.

    ∴当x=1,μ取得最大值4时，y就取得最大值1.