Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
（I） 证明：|c|≤1；
（II）证明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．

Answer 1

分析：（I）当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1．由此能够证明c≤1．
（Ⅱ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，知2a=f（1）+f（-1）-2f（0）．又由|x|≤1时，|f（x）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1．由此能够证明|a|≤2．
（Ⅲ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c．由

f(0)=c f(1)=a+b+c f(-1)=a-b+c

得

a= 1 2 [f(1)+f(-1)]-f(0) b= 1 2 [f(1)-f(-1)] c=f(0)

．由一次函数的单调性能够证明|g（x）|≤2λ．

解答：解：（I）∵当|x|≤1时，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由

f(0)=c f(1)=a+b+c f(-1)=a-b+c

得

a= 1 2 [f(1)+f(-1)]-f(0) b= 1 2 [f(1)-f(-1)] c=f(0)

∴g(1)=λa+b=λ•

1

2

[f(1)+f(-1)]-λf(0)+

1

2

[f(1)-f(-1)]=

λ+1

2

f(1)+

λ-1

2

f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ•

1

2

[f(1)+f(-1)]+λf(0)+

1

2

[f(1)-f(-1)]
=

1-λ

2

f(1)-

1+λ

2

f(-1)+λf(0)，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴|g(1)|=|

λ+1

2

f(1)+

λ-1

2

f(-1)-λf(0)|≤

λ+1

2

+

λ-1

2

+λ=2λ，
∴|g(-1)|=|

λ-1

2

f(1)-

λ+1

2

f(-1)+λf(0)|≤

λ-1

2

+

λ+1

2

+λ=2λ．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用不等式的性质．