Question

已知等差数列{a_n}前n项和为S_n，且满足a₂+a₅=22．S₁₀=190．
（1）求通项a_n
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b_n=

Sn

n+c

，求非零常数c；
（3）对（2）中的数列{b_n}，若其前n项和为T_n，求证2T_n-3b_n-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，列出关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a₁=3，从而可求等差数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-n，继而可求得b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，利用b₁、b₂、b₃成等差数列即可求得c的值；
（3）依题意，可求得T_n=n²+n，2T_n-3b_n-1=2（n-1）²+4≥4（n=1时取“=”）①，

64bn

(n+9)bn+1

=

64

n+ 9 n +10

≤4（当且仅当n=3时取“=”），②利用①②等号不可能同时取到即可使结论得证．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，公差为d，
∵a₂+a₅=22．S₁₀=190，
∴

2a1+5d=22 10a1+ 10×9 2 d=190

，解得

a1=1 d=4

，
∴a_n=4n-1．
（2）由（1）知，a₁=3，
∴S_n=

(3+4n-1)n

2

=2n²-n，
∴b_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

，
∴b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，
∵数列{b_n}是等差数列，
∴2b₂=b₁+b₃，即

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，整理得2c²+c=0，
∵c为非0常数，
∴c=-

1

2

．
（3）由（2）得，b_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）=2×

(1+n)n

2

=n²+n，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，n=1时取“=”；①

64bn

(n+9)bn+1

=

64×2n

(n+9)×2(n+1)

=

64n

n2+10n+9

=

64

n+ 9 n +10

≤4（当且仅当n=3时取“=”），②
显然，①②中的等号不可能同时取到，
∴2T_n-3b_n-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想与化归思想与基本不等式不等式的综合应用，属于难题．