Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点.

(1)求证：“如果直线l过点T(3，0)，那么·=3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer 1

解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y²=2x,消去x得y²-2ty-6=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

∴y₁+y₂=2t,y₁·y₂=-6,

·=x₁x₂+y₁y₂=(ty₁+3)(ty₂+3)+y₁y₂=t²y₁y₂+3t(y₁+y₂)+9+y₁y₂

=-6t²+3t·2t+9-6=3.

∴·=3,故为真命题.

（2）（1）中命题的逆命题是：若·=3,则直线l过点（3，0）,逆命题是假命题.

设l:x=ty+b,代入抛物线y²=2x,消去x得y²-2ty-2b=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=2t,y₁·y₂=-2b.

∵·=x₁x₂-y₁y₂

=(ty₁+b)(ty₂+b)-y₁y₂

=t²y₁y₂+bt(y₁+y₂)+b²+y₁y₂

=-2bt²+bt·2t+b²-2b=b²-2b,

令b²-2b=3,得b=3或b=-1.

此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.

故逆命题为假命题.