Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足

PE

=

1

3

PD

．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．
（3）在线段BC上是否存在点F，使得PF∥平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明：PA⊥平面ABCD，需要证明PA⊥BC，PA⊥CD即可．
（2）求二面角E-AC-D的余弦值，利用三垂线定理，EO∥PA，过点O作OH⊥AC交AC于点H，连接EH，作出∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，然后解直角三角形．
（3）F为BC中点时，使得PF∥平面EAC，利用三角形相似证明PF∥ES即可．

解答：证明：（1）

AB⊥BC PB⊥BC

?BC⊥平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD；

（2）在AD上取一点O，使AO=

1

3

AD，连接EO，则EO∥PA，
所以EO⊥平面ABCD．
过点O作OH⊥AC交AC于点H，连接EH，则EH⊥AC
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

2

3

AP=

4

3

；在Rt△AHO中，∠HAO=45°，
所以HO=AOsin45°=

2

3

tan∠EHO=2

2

cos∠EHO=

1

3

所以所求二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

；

（3）当F为BC中点时，PF∥平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S
因为AD∥FC所以

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

又因为

PE

ED

=

1

2

所以PF∥ES
因为PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．

点评：本题考查直线与平面垂直或平行的判定，棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．