Question

已知：l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，其中0＜a＜2，l₁、l₂与两坐标轴围成一个四边形．
（1）求两直线的交点；
（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．

Answer 1

分析：（1）两直线联系方程组

ax-2y=2a-4 2x+a2y=2a2+4

，由此能求出其交点坐标．
（2）由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，令x=0，y=0得，l₁：x=2-

4

a

，y=2-a；l₂：x=a2+2，y=2+

4

a2

，由此能求出其面积的最小值．

解答：解（1）：求两直线的交点

ax-2y=2a-4 2x+a2y=2a2+4

，
D=

.

a 2

-2 a2

.

=a³+4，
D_x=

.

2a-4 2a2+4

-2 a2

.

=2a³-4a²+4a²+8=2（a³+4），
D_y=

.

a 2

2a-4 2a2+4

.

=2（a³+4）
∴交点为（2，2）；
（2）由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，
令x=0，y=0得，l₁：x=2-

4

a

，y=2-a；
l₂：x=a2+2，y=2+

4

a2

，
则s=

1

2

(2-a)×2+

1

2

(2+a2)×2=a2-a+4=(a-

1

2

)2+

15

4

≥

15

4

．
所以 Smin=

15

4

．
此时a=

1

2

．

点评：本题考查两直线的交点坐标的求法和四边形面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．