题目内容
【题目】已知数列
，
，…，
的项
，其中
…，
，
，其前项和为
，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为
，.
（1）求
的值；
（2）求数列的通项公式，并化简.
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
（1）根据题意这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，这样的数列共有
个，即可得解；
（2）这
项中包含2个1或5个1……或
个1，其余均为2，所以
，结合
除以3余数为2，0的数列
，
，…，
的个数构成的数列分别为
，
，根据规律猜想，并用数学归纳法证明.
解：（1）因为前六项的和除以3余数为1
所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，
所以这样的数列共有个，故
（2）因为，，…，和除以3余数为1，
所以这项中包含2个1或5个1……或个1，其余均为2，
所以，设除以3余数为2，0的数列，，…，的个数构成的数列分别为，
同理，
，
∵
∵
结合（1）猜想，
下面用数学归纳法证明
当
时，
，成立
假设当
时，有
，
成立，且
，
则当
时，数列共
项，分两步看，第一步先看前
项，前项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为
，
，
，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21
∴
所以当时，猜想也成立
综上，，
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