Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为4

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换

x′= 2 2 x y′=y

变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）根据直线与x轴交点求得c，进而根据椭圆的定义求得|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，根据△F₁PQ的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）根据题意可求得曲线C'的方程，整理得圆的方程，根据直线l与圆相切求得原点到直线的距离进而求得k和m的关系式，与椭圆方程联立设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据判别式求得k的范围，依据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据直线方程表示出y₁y₂，进而根据m²=1+k²求得x₁+x₂和x₁x₂关于k的表达式，进而求得

OA

•

OB

的表达式，根据λ的范围确定k的范围，根据弦长公式表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围，进而利用|AB|表示出△OAB面积求得△OAB面积的取值范围．

解答：解：（1）依题意y=x-1与x轴交于点F₂（1，0）
即c=1．
又|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a
所以|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=|PF₁|+|PF₂|+|QF₂|+|QF₁|=4a∴4a=4

2

，∴a=

2

，∴b²=a²-c²=1
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1.
（2）依题意曲线C'的方程为

( 2 x′)2

2

+y′2=1
即圆x'²+y'²=1．
因为直线l：y=kx+m与曲线C'相切，
所以

|m|

1+k2

=1，
即m²=k²+1．
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以△＞0，即k²＞0，
所以k≠0．
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

.
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

又m²=1+k²
所以x1x2=

2k2

1+2k2

，y1y2=

1+k2

1+2k2

.
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ
又

2

3

≤λ≤

3

4

所以

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
所以

1

2

≤k2≤1.
又|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

设u=k⁴+k²
因为

1

2

≤k2≤1，所以u∈[

3

4

，2]|AB=2

2u 4u+1

=2

1 2 - 1 2(4u+1)

在[

3

4

，2]上为递增函数，
所以

6

2

≤|AB|≤

4

3

.
又O到AB的距离为1，
所以S△OAB=

1

2

|AB|•1=

1

2

|AB|∈[

6

4

，

2

3

].
即△OAB的面积的取值范围为[

6

4

，

2

3

].

点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合性问题，考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．