Question

若关于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五个互不相等的实根，则k的取值范围是（　　）

• A、(-

  1

  4

  ，

  1

  4

  )
• B、(-∞，-

  1

  4

  )∪(

  1

  4

  ，+∞)
• C、(-∞，-

  1

  8

  )∪(

  1

  8

  ，+∞)
• D、(-

  1

  8

  ，0)∪(0，

  1

  8

  )

Answer 1

分析：由方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0得|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=kx+1，设函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，g(x)=kx+1，然后分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象确定k的取值范围．

解答：解：∵方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0，
∴|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=kx+1，
设函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，g(x)=kx+1，
则f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=

- 2 x ，x＜-1 -2x，-1≤x≤0 2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，
当x＞1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=

2

x

相切时，得kx+1=

2

x

，
即kx²+x-2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=-

1

8

，
当x＜-1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=-

2

x

相切时，得kx+1=-

2

x

，
即kx²+x+2=0，由△=1-4×2k=0，解得k=

1

8

，
∴要使关于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五个互不相等的实根，
则由图象可知-

1

8

＜k＜0或0＜k＜

1

8

，
即k的取值范围是(-

1

8

，0)∪(0，

1

8

)，
故选：D．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．