Question

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，然后利用向量的数量积的坐标表示求解

PC

•(

PA

+

PB

)，根据两点间的距离公式即可求解

解答：解：分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系
∵AC=BC=2
∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
设P（x，y），则

PA

=(-x，2-y)，

PB

=(2-x，-y)），

PC

=(-x，-y)
∴

PA

+

PB

=(2-2x，2-2y)
∴

PC

•(

PA

+

PB

)=-x（2-2x）-y（2-2y）
=-2x+2x²-2y+2y²
=2(x-

1

2

)2+2(y-

1

2

)2-1
即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2为△ABC内一点到点（

1

2

，

1

2

）距离平方，当其最小时向量

PC

•(

PA

+

PB

)最小，
因为点（

1

2

，

1

2

）也在△ABC内，
所以(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2最小为0，所以向量

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值为-1
故选B

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，解题的关键是根据所求式子 几何意义．