Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，

底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD.

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证明略 (2) 存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.

解析:

（1）  设PA=1，由题意BC=PA=1，AD=2.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°,

∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,

易得CD=AC=，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.

又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

又CD平面PCD，

∴平面PAC⊥平面PCD.

（2）存在点E使CE∥平面PAB.

分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），

设E（0，y，z），则=（0，y，z-1），

=（0，2，-1）.

∵∥，∴y·（-1）-2（z-1）=0                                                                     ①

∵=(0,2,0）是平面PAB的法向量，

又=（-1,y-1,z），若使CE∥平面PAB，

则⊥.

∴（-1，y-1，z）·（0，2，0）=0，

∴y=1代入①，得z=.

∴E是PD的中点，

∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.