Question

【题目】已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.

（1）求出动点的轨迹的标准方程；

（2）设动直线与曲线有且仅有一个公共点，与圆相交于两点（两点均不在坐标轴上），求直线的斜率之积.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）计算得到，根据，计算得到答案.

（2）讨论直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况，计算得到答案.

（1）因为，即

所以，所以

又因为，所以，即，即.

所以曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组得.

∵直线与椭圆有且仅有一个公共点，

∴，即.

由方程组得，

则.

设，则，

设直线的斜率分别为，

所以

，

将代入上式，得.

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为.

此时，圆与的交点也满足.

综上，直线的斜率之积为定值.