Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x．（1）求f（x）递增区间．（2）求f（x）当x∈[0，

π

2

]时的值域．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调性求出，函数的递增区间；
（2）由x∈[0，

π

2

]求出2x-

π

4

的范围，进而求出正弦函数值的范围，再由解析式求出函数值域．

解答：解：（1）由题意知，f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
∴f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得，kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

∴函数的递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）

（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

sin(-

π

4

)≤y≤

2

sin

π

2

即-1≤y≤

2

∴函数的值域为[-1，

2

]．

点评：本题的考点是正弦函数的单调性和求定区间上的值域，需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数，再利用整体思想求解．