题目内容
已知抛物线y2=2px，（p＞0）的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| FA |
| FB |
| FC |
（Ⅲ）若A，F，C三点共线，直线BF交抛物线于另一点D，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值．
分析：（Ⅰ）根据抛物线y2=2px和焦点F(
，0)，准线方程：x=-
，焦点F到准线的距离为
，即可求得p值；
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知F(
，0)，∵
+
+
=
，求得x1+x2+x3的值，进而利用抛物线的定义推断出|
|+|
|+|
|=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）把x1+x2+x3的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知F(
，0)，抛物线方程为：y2=3x，显然AC，BD都不垂直于坐标轴，设直线AC的方程为：x=my+
，可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S四边形ABCD运用基本不等式可确定答案．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知F(
| 3 |
| 4 |
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| FA |
| FB |
| FC |
（Ⅲ）由（1）知F(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）焦点F(
，0)，准线方程：x=-
，
∵焦点F到准线的距离为
，即
-(-
)=
，
∴p=
．
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知F(
，0)，
∵
+
+
=
，即(xA-
，yA)+(xB-
，yB)+(xC-
，yC)=
，
∴xA-
+xB-
+xC-
=0，即xA+xB+xC=
，
由抛物线的定义：|
|+|
|+|
|=(xA+
)+(xB+
)+(xC+
)=(xA+xB+xC)+
=
+
=
．
（Ⅲ）由（1）知F(
，0)，抛物线方程为：y2=3x，
显然AC，BD都不垂直于坐标轴，
设直线AC的方程为：x=my+
，
联立
得：y2-3my-
=0，
由韦达定理得，yA+yC，=3m，yA•yC=-
，
∴|AC|=
|yA-yC|=
=3(1+m2)，
将上式中m用-
代换，得|BD|=3(1+
)，
于是，S=
|AC|•|BD|=
(1+m2)•(1+
)≥
•2m•
=18，
当且仅当m=±1时，上式取等号，故四边形ABCD面积的最小值为18．
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
∵焦点F到准线的距离为
| 3 |
| 2 |
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴p=
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知F(
| 3 |
| 4 |
∵
| FA |
| FB |
| FC |
| 0 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 0 |
∴xA-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
由抛物线的定义：|
| FA |
| FB |
| FC |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
（Ⅲ）由（1）知F(
| 3 |
| 4 |
显然AC，BD都不垂直于坐标轴，
设直线AC的方程为：x=my+
| 3 |
| 4 |
联立
|
| 9 |
| 4 |
由韦达定理得，yA+yC，=3m，yA•yC=-
| 9 |
| 4 |
∴|AC|=
| 1+m2 |
| 1+m2 |
| (yA+yC)2-4yAyC |
将上式中m用-
| 1 |
| m |
| 1 |
| m2 |
于是，S=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| m2 |
| 9 |
| 2 |
| 2 |
| m |
当且仅当m=±1时，上式取等号，故四边形ABCD面积的最小值为18．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识．考查了学生分析问题和解决问题的能力．本题是抛物线和直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题一般作为高考的压轴题出现，要想解答正确，就必须对基础知识熟练掌握．
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