Question

已知圆C：x²+y²=4，点D（4，0），坐标原点为O．圆C上任意一点A在X轴上的影射为点B已知向量

OQ

=t

OA

+（1-t）

OB

（t∈R，t≠0）
（1）求动点Q的轨迹E的方程
（2）当t=

3

2

时，设动点Q关于X轴的对称点为点P，直线PD交轨迹E于点R （异于P点），试问：直线QR与X轴的交点是否为定点，若是定点，求出其坐标；若不是定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设设Q（x，y），A（x₀，y₀）B（x₀，0）代入

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

得到x0= x，y0=

y

t

所以动点Q的轨迹E的方程为x2+

y2

t2

=4．
（2）设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0设点P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则Q（x₁，-y₁），直线RQ的方程为
y-y2=

y2+y1

x2-x2

(x-x2)令y=0将y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4），x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入整理得x=1，即直线QR过定点（1，0）．验证当k=0时也成立．

解答：解：（1）设Q（x，y），A（x₀，y₀），则B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）
∴x0= x，y0=

y

t

∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，x2+

y2

t2

=4
即轨迹E的方程为x2+ 

y2

t2

=4
（2）当t=

3

2

时，轨迹E为椭圆，方程为

x2

4

+

y2

3

=1…①
设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由题意得，必有△＞0，故方程②有两个不等实根．
设点P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则Q（x₁，-y₁）
由②知，x1+x2= 

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

直线RQ的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
当k≠0时，令y=0，得x=x2-

y2( x2-x1)

y2+y1

，将y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…③
再将x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入③计算得，x=1即直线QR过定点（1，0）

当k=0时，y₁=y₂=0，直线QR过定点（1，0）
综上可得，直线QR与x轴交于定点，该定点的坐标为（1，0）．

点评：本题考查求曲线方程的方法中相关点代入法以及直线与椭圆的位置关系，直线的方程和定点问题，在高考中定值也是考查的重点．