Question

已知F是抛物线y ²=2Px (p>0)的焦点，若点M（2，）恰好是直线MF被抛物线所截得弦的中点

（1）求p的值及直线MF的方程

（2）能否在抛物线上找一点C ？使. 若能，求出点C的坐标. 若不能,请说明理由.

Answer 1

（1）p=2，直线 MF 的方程为y=  (x－1)（2）不存在点C满足题意

解析:

(1)  (点差法)  设直线MF与抛物线交于A(x_{1 ,}y₁),  B(x_{2 ,} y₂), 又F（ ,0), 

则y₁²=2px₁          y₂²=2px₂     ‚                      …………2分

由‚－  得  (y₂＋y₁) (y₂－y₁)=2p(x₂－x₁)

 即 k_AB(y₂＋y₁)=2p      ƒ 

 将k_AB=k_MF= ,  y₁＋y₂=2  代人ƒ  解之有p=2

  所以 k_MF= ， 直线 MF 的方程为y=  (x－1)          …………7分

  (2)  假设存在点C, 由(1)知y²=4x

  设C(t², 2t),  则 ,   ,

  由于

 可知                                        …………… 9分   

  即 (t²－2)(t²—1)＋(2t－)(2t)=t⁴＋t²－2t＋2=t⁴＋(t－)²=0

  则t=0且t= ,故不存在点C满足题意        …………12分