Question

（2013•永州一模）已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，则x+2y+3z的最大值是

14

．

Answer 1

分析：分析题目已知x²+y²+z²=1，求x+2y+3z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+3z）²的最大值，开平方根即可得到答案．

解答：解：因为已知x²+y²+z²=1根据柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
即（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≤1×14=14
故x+2y+3z≤

14

．当且仅当x=

y

2

=

z

3

时取等号．
则x+2y+3z的最大值是

14

．
故答案为：

14

．

点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．