Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2 ，BC=，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P。
（1）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（2）设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大小。

Answer 1

解：（1）证明：∵，
∴，
又∵，且PC∩PF=P，
∴PE⊥平面PFC，
∵PF平面PFC，
∴平面PEC⊥平面PFC；
（2）如图，建立坐标系，则

，
易知是平面PAE的法向量，
设MN与平面PAE 所成的角为θ，
。
（3）易知是平面PAE的法向量，设平面PEC的法向量，

则且x-z=0，
所以，
所以二面角A-PE-C的大小为135°。