Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简不等式，然后利用两角和化简函数为2sin(ωx-

π

6

)-1，解好正弦函数的有界性，求函数f（x）的值域；
（II）利用函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求出周期，求出ω，利用正弦函数的单调增区间，求函出数y=f（x）的单调增区间．

解答：解：（I）解：f(x)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-(cosωx+1)
=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)-1
=2sin(ωx-

π

6

)-1．
由-1≤sin(ωx-

π

6

)≤1，得-3≤2sin(ωx-

π

6

)-1≤1，
可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得

2π

ω

=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）

点评：本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力，常考题．