Question

已知f(x)=

x(x-a+1)+a-4

x-2

．
（1）若关于x的方程f（x）=0有大于2的两个实根，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞2（其中a＞1）．

Answer 1

分析：（1）通过方程f（x）=0有大于2的两个实根，利用韦达定理列出关系式，即可求a的取值范围；
（2）不等式f（x）＞2，转化为3次不等式，通过a＞1，讨论因式的根的大小求解不等式的解集即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）由f（x）=0有大于2的两个实根，等价于x（x-a+1）+a-4=0
即x²-（a-1）x+a-4=0有大于2的两个实根，
∴

△=(1-a)2-4(a-4)≥0 x1+x2=a-1＞4 (x1-2)(x2-2)=-a+2＞0

⇒

a∈R a＞5 a＜2

⇒a∈∅
（2）关于x的不等式f（x）＞2，
可得

x(x-a+1)+a-4

x-2

＞2
即：

x2-(a+1)x+a

x-2

＞0?

(x-a)(x-1)

x-2

＞0
即：（x-a）（x-1）（x-2）＞0由于a＞1，
于是有：
①当1＜a＜2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜a或x＞2}．
②当a＞2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜2或x＞a}．
③当a=2时，不等式的解集为：{x|x＞1且x≠2}．

点评：本题考查函数的零点的应用，不等式的解集的求法，分类讨论问题的应用，考查计算能力．