Question

已知函数f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，

π

2

]．
（I）求f（x）的对称轴方程；
（II）若f（x）的最大值为

2

，求a的值及此时对应x的值；
（III）若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，求当g[f（x）]＜0恒成立时，实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，

π

2

]化为f(x)=

2

asin(x+

π

4

) +1-a，对a分类讨论可求f（x）的对称轴方程；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可求x+

π

4

∈ [

π

4

，

3π

4

]，，从而可求sin(x+

π

4

) ∈[

2

2

，1]，结合题意可求a的值及此时对应x的值；
（3）由题意知f（x）＜-2 或0＜f（x）＜2，再对a分类讨论解决．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

2

asin(x+

π

4

) +1-a，
当a≠0时x+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)，又x∈[0，

π

2

]∴x=

π

4

；
当a=0时，f（x）=1，又x∈[0，

π

2

]∴x=

π

4

．
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]∴x+

π

4

∈ [

π

4

，

3π

4

]，∴sin(x+

π

4

) ∈[

2

2

，1]，
1）当a＞0时f(x)max=

2

a+1-a=

2，

∴a=1，x=

π

4

；
2）当a＜0f(x)max=

2

a•

2

2

+1-a=

2

，则1=

2

，此情况不成立；
3）当a=0时f（x）_max=1，此情况不成立∴a=1，x=

π

4

．
（Ⅲ）由题意知f（x）＜-2 或0＜f（x）＜2，
1）当a＞0时，f(x)max=

2

a+1-a＜2，⇒0＜a＜1+

2

，f（x）_min=1＞0或f（x）_min＜-2（舍）；
2）当a＜0时，f（x）_max=1＜2，f(x)min=

2

a+1-a＞0（舍）；
3）当a=0时f（x）=1，满足
∴实a的取值范围-

2

-1＜a＜1+ 

2

．

点评：本题考查三角函数的最值，重点考查学生辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，分类讨论与转化的思想，综合性强，在三角部分属于难题．