Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1)求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)求点A₁到平面AED的距离.

Answer 1

解法一：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.设F为AB的中点，连结EF、FC，

∵D、E分别是CC₁、A₁B的中点，

又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形.

连结DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF.在Rt△EFD中，

EF²=FG·FD=FD²，

∵EF=1，

∴FD=.

于是ED=.

EG=.

∵FC=ED=,

∴AB=2,A₁B=2,EB=.

∴sinEBG=.

∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin.

（2）连结A₁D，有.

∵ED⊥AB，ED⊥EF.

又EF∩AB=F,

∴ED⊥平面A₁AB.

设A₁到平面AED的距离为h，

则S_△AED·h=·ED.

又==A₁A·AB=,

S_△AED=AE·ED=.

∴h=，

即A₁到平面AED的距离为.

解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD上的射影，即∠A₁BG是A₁B与平面ABD所成的角.

如上图所示，建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，则A（2a,0,0）,B(0,2a,0),?D(0,0,1),A₁(2a,0,2),E(a,a,1),G(,,).

∴=（）,=(0,-2a,1).

∴·=-=0.解得a=1.

∴=(2,-2,2),=().

∴cosA₁BG==.

∴A₁B与平面ABD所成的角是arccos.

（2）由(1)有A(2,0,0),A₁(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).

=（-1，1，1）·（-1，-1，0）=0，

·=（0，0，2）·（-1，-1，0）=0，

∴ED⊥平面AA₁E.又ED?平面AED,

∴平面AED⊥面AA₁E，又面AED∩面AA₁E=AE，

∴点A₁在平面AED上的射影K在?AE上.

设，

则=（-λ,λ,λ-2）.

由=0，

即λ+λ+λ-2=0.

解得λ=.

∴=(-,,-).

∴||=.

故A₁到平面AED的距离为.