题目内容
某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用
表示A型车床在第n年创造的价值．（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式an；
（2）记Sn为数列{an}的前n项的和，
．企业经过成本核算，若Tn＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{bn}是单调递减数列，则数列
也是单调递减数列）．
【答案】分析：（1）依据题意，知a1，a2，…，a6构成首项为a1=250，公差d=-30的等差数列，
构成首项为
，公比
的等比数列，从而可得数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列，先判断Tn＞100（1≤n≤6），再判断当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元），从而可得结论．
解答：解：（1）依据题意，知a1，a2，…，a6构成首项为a1=250，公差d=-30的等差数列．
故
（万元）． （3分）
构成首项为
，公比
的等比数列．
因此，
（万元）． （6分）
于是，
（万元）． （7分）
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列．
∵
（万元），
（万元），
∴Tn＞100（1≤n≤6）．
∴当n≥7时，
=
=
（万元）． （9分）
当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元）． （13分）
∴当n≥12，n∈N*时，恒有Tn＜96．
∴该企业需要在第11年年初更换A型车床． （14分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
构成首项为
，公比
的等比数列，从而可得数列{an}（n∈N*）的通项公式；（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列，先判断Tn＞100（1≤n≤6），再判断当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元），从而可得结论．
解答：解：（1）依据题意，知a1，a2，…，a6构成首项为a1=250，公差d=-30的等差数列．
故
（万元）． （3分）
构成首项为
，公比
的等比数列．因此，
（万元）． （6分）于是，
（万元）． （7分）（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列．
∵
（万元），
（万元），∴Tn＞100（1≤n≤6）．
∴当n≥7时，
=
=
（万元）． （9分）当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元）． （13分）
∴当n≥12，n∈N*时，恒有Tn＜96．
∴该企业需要在第11年年初更换A型车床． （14分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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也是单调递减数列）．