Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：总存在，使得当，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求出导数， 就是切线的斜率，由点斜式写出直线方程；

（Ⅱ）不等式可化为，因此只要求的最大值，即得结论．这可利用导数的知识求解．

（Ⅲ） ，设，利用导数知识求出的单调增区间为，减区间为，注意到，因此当时，可取即符合题意；当时，用放缩法，由（Ⅱ），即，因此有，由得，此时有，取，由，因此在是递减，满足题意．

试题解析：

的定义域为．

（Ⅰ）当时， ， ，

， ，

所以，所求切线方程为．

（Ⅱ）因为，所以. . ，

令，则，

由得， ，

所以， ， ， ， ，

所以的单调增区间是，单调减区间是，

所以，所以.

（III） ，

令， ，

所以， ， ， ， ，

所以的单调增区间是，单调减区间是，

因为，所以，

当时，存在，使得当，恒有，即，

当时，由（Ⅱ）知， ，即，

所以，

由得， ，所以.

，存在，使得当，恒有，即.

综合上所述，总存在，使得当，恒有．