Question

如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．椭圆上不同的两点A(x1，y1)、C(x2，y2)满足条件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列． (1) 求该椭圆的方程 (2) 求弦AC中点的横坐标 (3) 设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由椭圆定义及条件知2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5，又c＝4，所以b＝＝3．故椭圆方程为＋＝1．
(2)	由点B(4，yB)在椭圆上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝． 　　因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为， 　　根据椭圆定义，有｜F2A｜＝(－x1)，｜F2C｜＝(－x2)． 　　由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得 　　(－x1)＋(－x2)＝2×． 　　由此得出x1＋x2＝8． 　　设弦AC的中点为P(x0，y0)，则x0＝＝＝4．
(3)	由A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，得 　　④－⑤得9(－)＋25(－)＝0， 　　即9()＋25()()＝0(x1≠x2)． 　　将＝x0＝4，＝y0，＝－(k≠0)代入上式，得 9×4＋25y0(－)＝0(k≠0)． 　　由上式得k＝y0(当k＝0时也成立)． 　　由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m．所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0． 　　由P(4，y0)在线段(与B关于x轴对称)上，得－＜y0＜．所以－＜m＜．