题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）在区间 $数学公式$ 上的最值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即 $\text{[math]}$ ，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即 $\text{[math]}$ ，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函数的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）
∵x∈ $\text{[math]}$
∴函数的递增区间为[ $\text{[math]}$ ，1），递减区间为（1，e]
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为f（1）=- $\text{[math]}$ ，最小值为f（e）= $\text{[math]}$ ；
（2）∵函数 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （x＞0）
当m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜m＜0时， $\text{[math]}$ ，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜ $\text{[math]}$ ；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞ $\text{[math]}$ ；
∴函数在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调减；
当m≤-1时，f′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减．
分析：（1）求导函数，确定函数在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，即可求最值；
（2）求导函数，对m分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．