题目内容
已知函数f(x)=2cosx•sin(x+
)-
sin2x+sinx•cosx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x-m）为偶函数，求m的最小正值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x-m）为偶函数，求m的最小正值．
分析：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=2sin（2x+
）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
解出x的范围，即可得函数的单调区间；
（2）可得f（x-m）=2sin（2x-2m+
），由偶函数的对称性，求出对称轴，给k取特值可得满足条件的m值．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（2）可得f（x-m）=2sin（2x-2m+
| π |
| 3 |
解答：解：（1）由三角函数的公式化简可得
f（x）=2cosx（
sinx+
cosx）-
sin2x+sinx•cosx
=2sinxcosx+
cos2x-
sin2x=sin2x+
cos2x
=2sin（2x+
），
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，可得kπ+
≤x≤kπ+
，
故f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+
），
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+
），
∵f（x-m）为偶函数，
∴图象关于y轴对称，
由-2m+
=kπ+
，解得m=-
-
，k∈Z
∴当k=-1时，m取最小正值为m=
．
f（x）=2cosx（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
=2sinxcosx+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
故f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+
| π |
| 3 |
∵f（x-m）为偶函数，
∴图象关于y轴对称，
由-2m+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴当k=-1时，m取最小正值为m=
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查三角函数的计算公式，涉及函数的单调性和对称性，属中档题．
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