Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）该函数f（x）由y=sinx通过怎样的图象变换得到．

Answer 1

（1）由题意得，
f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
因此，函数f（x）的最小正周期为π，
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（　　）k∈z得，
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
即单调为递增区间[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈z），
（3）函数y=sinx图象先向右平移

π

4

各单位，再把图象上各个点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把各个点的纵坐标变为原来的

2

倍，横坐标不变，即得到函数f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的图象．