Question

【题目】已知定点，动点在圆：上，线段的中垂线为直线，直线交直线于点，动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点在第二象限，且相应的直线与曲线和抛物线：都相切，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先看动点有什么性质？由中垂线得，从而，是常数，因此点轨迹是椭圆，且是焦点，因此易得的方程；（2）直线是椭圆和抛物线的公切线，因此设方程为，由它与椭圆相切（代入椭圆方程，判别式为0）可得一个等式，同样由它与抛物线相切又可得一个等式，联立后可解得，注意在第二象限，可得唯一解，再关于直线对称可求得点坐标．

试题解析：（1）圆的圆心为，半径，连结，

∵在的中垂线上，∴，

∴

∴点的轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，

∴，；，；，

∴曲线的方程为.

（2）∵直线与椭圆和抛物线都相切，∴直线斜率一定存在，设： ①，

①代入，得，

由，得 ②.

有把①代入，得，

由，得 ③.

由② ③解得

设，∵在第二象限，∴，

注意与关于直线对称，，∴，∴，∴：，

则，解得，经检验在圆上，故所求点的坐标为.