Question

已知向量

a

=(1-tanx，1)，

b

=(1+sin2x+cos2x，-3)， 记 f(x)=

a

•

b

（1）求f （x）的周期；
（2）若g(a)=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)，则求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则计算

a

•

b

后，得到函数f（x）的解析式，第一项第一个括号中利用同角三角函数间的基本关系切化弦进行化简，第二个括号利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函数的最小正周期；
（2）把x=

α

2

和x=

α

2

+

π

4

分别代入得出的函数f（x）解析式，确定出g（α）的解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，再根据两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到g（α）的最小值．

解答：解：（1）f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
=

cosx-sinx

cosx

(2cos2x+2sinxcosx)-3
=2（cos²x-sin²x）-3
=2cos2x-3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵g（α）=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=2cosα-2cos(α+

π

2

)
=2(cosα+sinα)=2

2

sin(α+

π

4

)，
∴g（α）的最小值为-2

2

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域及值域，熟练掌握公式是解本题的关键．