Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（1）设a＞0，若函数f（x）在区间（a，a+

1

2

）上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

k2-k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求得函数f（x）的极值点x₀，令x0∈(a，a+

1

2

)即可；
（2）不等式f(x)≥

k2-k

x+1

，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k2-k，设g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用导数求出g（x）在[1，+∞）上的最小值，使其大于等于k²-k即可；

解答：解：（1）因为f(x)=

1+lnx

x

，则f′(x)=-

lnx

x2

(x＞0)，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以f（x）在x=1处取得极大值．
因为f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．
（2）不等式f(x)≥

k2-k

x+1

，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k2-k．
设g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，则g′(x)=

x2-lnx

x2

． 
 令h（x）=x²-lnx，则h′(x)=1-

1

x

．
因为x≥1，所以h'（x）≥0，则h（x）在[1，+∞）上单调递增．
所以h（x）得最小值为h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）得最小值为g（1）=2，
所以k²-k≤2，解得-1≤k≤2．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、在闭区间上的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．