Question

（2007•天津一模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁=AB=AC=4，∠BAC=90°，D为侧面ABB₁A₁的中心，E为BC的中点．
（1）求证：平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线A₁B与B₁E所成的角；
（3）求点C到平面DB₁E的距离．

Answer 1

分析：（1）证明平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁，只要证明DB₁E经过平面BCC₁B₁的一条垂线即可，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，且地面为等要直角三角形可得答案；
（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出两异面直线所对应向量的坐标，由向量的夹角求解异面直线A₁B与B₁E所成的角；
（3）求出平面DB₁E的一个法向量，连结C与平面DB₁E内一点得到一个向量，利用向量求距离公式求解．

解答：（1）证明：如图，
连结AE，∵AB=AC，且E为BC的中点，
∴AE⊥BC，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥AE．
BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面BCC₁B₁，由AE?平面DB₁E．
∴平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，4），B（4，0，0），B₁（4，0，4）
E（2，2，0），C（0，4，0），D（2，0，2）．

A1B

=(4，0，-4)，

B1E

=(-2，2，-4)．
∴cos＜

A1B

，

B1E

＞=

A1B • B1E

| A1B || B1E |

=

8

32 • 24

=

3

6

．
∴异面直线A₁B与B₁E所成的角为arccos

3

6

；
（3）

EC

=(-2，2，0).

DE

=(0，2，-2)
设平面B₁DE的一个法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n • B1E =0 n • DE =0

，得

-2x+2y-4z=0 2y-2z=0

，取z=1，得y=1，x=-1
∴

n

=(-1，1，1)．
∴点C到平面DB₁E的距离为|

EC • n

| n |

|=

4

3

=

4 3

3

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求空间角即点到面的距离，关键是对公式的理解与运用，是中档题．