Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=3n，数列{b_n}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

an•bn

n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）①当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．当n=1时，s₁=a₁=3．即可得出a_n．
②由数列{b_n}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)，利用“累加求和”即可得出．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）①∵Sn=3n，∴当n≥2时，Sn-1=3n-1．
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1．
当n=1时，s₁=a₁=3．
∴an=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

．
②∵数列{b_n}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-3）+（2n-5）+…+1-1
=

(n-1)(2n-3+1)

2

-1
=n²-2n．
（2）当n=1时，c₁=

3×(-1)

1

=-3；
当n≥2时，cn=

2×3n-1×(n2-2n)

n

=2（n-2）×3^n-1．
∴cn=

-3，n=1 2(n-2)×3n-1，n≥2

当n≥2时，Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2×(n-2)×3n-1，
3T_n=-9+0+2×1×3³+…+2×（n-3）3^n-1+2×（n-2）•3ⁿ，
相减得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n=2×

3(3n-1-1)

3-1

-2(n-2)×3n=3ⁿ-3-2（n-2）×3ⁿ，
∴T_n=

3+(2n-5)×3n

2

．
当n=1时，上式也成立．
∴Tn=

3+(2n-5)×3n

2

．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”得出a_n、“累加求和”、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于难题．